Question

g(x)=ax^2 -2ax +1+b(a≠0，b〈1)，在区间[2,3]内最大值为4，最小值为1，设f(x)=g(x)/x,求a,b的值

g(x)=ax^2 -2ax +1+b(a≠0，b〈1)，在区间[2,3]内最大值为4，最小值为1，设f(x)=g(x)/x。
1、求a,b的值；
2、若f(2^x) - k·2^x ≥0，在x∈[-1，1]内恒成立，求k的范围。

Answer 1

g(x)=ax²-2ax+1+b (a≠0，b<1)，在区间[2,3]内最大值为4，最小值为1，设f(x)=g(x)/x
【1、求a,b的值；】
由题知，
g(x)为二次函数，
对称轴为x= -(-2a)/a = 2
所以，分情况讨论，

a>0 时，g(x)开口向上，
在区间[2,3]内递增
最大值f(x)max = f(3) = 3a+1+b =4
最小值f(x)min = f(2) = 1+b =1
所以，
a=1
b=0

a<0 时，g(x)开口向下，
在区间[2,3]内递减
最大值f(x)max = f(2) = 1+b =4
最小值f(x)min = f(3) = 3a+1+b =1
所以，
a=-1
b=3(b<1舍去)

综上所述，
a=1，b=0

【2、若f(2^x) - k·2^x ≥0，在x∈[-1,1]内恒成立，求k的范围。】
由(1)知道，g(x)=x²-2x+1
所以，
f(x) = g(x)/x = x + 1/x -2

令t=2^x,由于x∈[-1,1]，所以，t∈[1/2,2]
若f(2^x) - k·2^x ≥0
即f(t) - kt ≥0
而t>0
所以，
k ≤ f(t)/t
=(t+1/t-2)/t
=1+1/t²-2/t
=(1-1/t)²

其中t∈[1/2,2]
1/t∈[1/2,2]
1-1/t∈[-1,1/2]
所以，(1-1/t)²∈[0,1]

而k ≤ (1-1/t)²恒成立
所以，k ≤ (1-1/t)²的最小值
所以，k ≤ 0
即k∈(-∞,0]

希望采纳~~~

追问

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Answer 2

K：2ax +ax - k·2^xg(x)/x：2.425~1.1023