Question

一个高中几何证明题

因为不能上传图片，，所以口叙述一下，，高手们都可以想象出来吧

在一个圆的圆上选不重合的四点，，，连接成一个非平行四边形非梯形的四边形，，也就是内切四边形吧，，然后延长其中两条边，，交于点A，，再延长另外两条边交于点B，，然后过A点做圆的两条切线，，切线交圆于点C和D，，怎样证明B,C,D共线？
拜托各位高手了，，用高中的定理解答啊，，不然看不懂....

Answer 1

用调和点列的方法较为容易 但方法的掌握不在高中的要求内

下面采用简单的定理来证明 比较麻烦
首先，设圆内接四边形为四边形ABCD,AB与DC交于点P，AD与BC交于点Q，过点Q做圆O的两条切线,切点分别为点E和点F.
再设AC与BD交于点R,下面来证明一个更强的结论：P、F、R、E共线.
设OQ交EF于L,PR交AQ于M,EF交AQ于点M',连结OF、OE、AL、OA、OD，并延长AL到S.

由Menelaus定理，
AB/BP×PC/CD×DQ/QA=1 -------------------------------------------------------------------------------1
由Ceva定理，
AB/BP×PC/CD×DM/MA=1 -------------------------------------------------------------------------------2
由1、2，
DM/MA=DQ/QA --------------------------------------------------------------------------------*

另一方面，
由射影定理，
QE^2=QL×QO ----------------------------------------------------------------------------------------------3
由切割线定理，
QE^2=QD×QA ----------------------------------------------------------------------------------------------4
由3，4，
QL*QO=QD*QA
所以O，L，D，A四点共圆
<SLQ=<OLA=<ODA=<OAD=<QLD，
所以LQ平分<SLD
又<ELQ=90°，
所以LE平分<ALD
由内外角平分线定理知，
DM'/M'A=DQ/QA ---------------------------------------------------------------------------------------------#

由*、#，
M=M'

同理可证，PR与BQ的交点N=EF与BQ的交点N'

综上，P、F、R、E共线.

注：#也可由三角比与相似三角形的证明得到.

希望采纳