Question

1x（1+2）/2+（1+2）X（1+2+3）/3+（1+2+3）X（1+2+3+4）/4+.......+（1+2+3+....+99）X（1+2++3+...99+

+100）/100

Answer 1

解：通项（第n项）an=（1+2+……+n）（1+2+……+n+1）/(n+1)=n(n+1)(n+2)/4=n³/4+3n²/4+n/2
也就是求an的前n项和
几个公式
1+2+……+n=n(n+1)/2 最高项为n^2
1+4+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6 最高项为n^3

不完全归纳法：
可设1+8+……+n³=an^4+bn^3+cn²+dn+e
可令n=0,1,2,3,4代入上式，解得abcde
已解为1+8+……+n³=(n^4) /4+ (n^3)/2+(n^2)/4
然后用数学归纳法严格证明上式成立，已证，在此省略

同理还可求得1+16+……+n^4等的公式……
n³/4+3n²/4+n/2
然后回到此题，n=99
Sn=99^4/16+99^3/8+99^2/16 +3*99(2*99+1)(99+1)/24+99(99+1)/4

Answer 2

an的通项公式是
an=[n(n+1)/2*(n+1)(n+2)/2]/(n+1)=1/4n(n+1)(n+2)=1/4(n^3+3n^2+2n)
Sn=1/4[1/4n^2(n+1)^2+3*1/6n*(n+1)(2n+1)+2*n*(n+1)/2]
=1/4[1/4n^2(n+1)^2+1/2n*(n+1)(2n+1)+n*(n+1)]
不化简了
原式=S99=1/4[1/4*99^2*100^2+1/2*99*100*199+99*100]=6374362.5