Question

在三角形ABC中，角ACB等于90度，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD垂直MN于D，BE垂直M

在三角形ABC中，角ACB等于90度，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD垂直MN于D，BE垂直MN于E。 （1）当直线MN绕点C旋转到图一的位置时，求证，DE＝AD＋BE。 （2）当直线MN绕点C旋转到图二的位置时，求证，DE＝AD－BE。 （3）当直线MN绕点C旋转到图三的位置时，试问，DE.AD.BE有怎样的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明。求解题过程(^_^)谢谢

Answer 1

MN交AB，∠ACN>∠BCN

那么DE=AD-BE

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴△ACD和△BCE是直角三角形

∴∠CAD+∠ACD=90°

∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°

∴∠CAD=∠BCE

∵AC=BC

∠ADC=∠CEB=90°

∴Rt△ACD≌Rt△BCE(AAS)

∴CE=AD，BE=CD

∴DE=CE-CD=AD-BE

性质

①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。

② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

Answer 2

解：
（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，

∠ADC＝∠CEB＝90°(已证)
∠DAC＝∠ECB(已证)
AC＝BC(已知)
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD+CE=AD+BE；
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，
直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
而AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）
∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．
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