Question

几何证明题（求详细解答过程）

已知点P是平行四边形内一点，且角APB+角CPD=180度。求证角CBP=角PDC
如图所示

Answer 1

过点D作DQ∥AP，过点P作PQ∥AD，两直线
相交于点Q，连结CQ
∴四边形APQD是平行四边形
∴PQ∥AD，PQ＝AD
又AD∥BC，AD＝BC
∴PQ∥BC，PQ＝BC
∴四边形PBCQ是平行四边形
∴∠PBC＝∠PQC
延长QP至E
∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠DQP＋∠CQP＝∠CQD
∵∠APB＋∠CPD＝180°
∴∠CQD＋∠CPD＝180°
∴P、C、Q、D四点共圆
∴∠PDC＝∠PQC
∴∠PBC＝∠PDC

Answer 2

将△PCD平移，使CD与BA重合，形成△QAB，连PQ
则PQ∥CB，∠AQB = ∠CPD，∠PDC = ∠QAB
∴∠QPB = ∠CBP, ∠APB + ∠AQB = 180°
∴A,P,B,Q四点共圆
∴∠PDC = ∠QAB = ∠QPB = ∠CBP

Answer 3

证明：
因为角APB+角CPD=180度
所以P在BD连线上
角CBP和角PDC为等腰直角三角形PBC的两底角
所以角CBP=角PDC
证毕。