Question

几何证明题，请说明证明过程

两圆o1和02,两圆心相连。公切线MD，过M做圆心连线垂线延长交圆于A，连接AD，
相交两圆于B，C两点，求证AB=CD thanks.

Answer 1

∵AM⊥O1O2，

过A作○O2的外切线切点为N

则AN为两圆的外公切线，且

AN=MD..............................(1)

对于○O1，由切割线定理得

MD²=DA×DB=DA(DA-AB)=DA²-DA×AB

AB=(DA²-MD²)/DA....................(2)

对于○O2，同理可得

CD=(DA²-AN²)/DA....................(3)

由 （1）（2）（3）得

AB=CD

Answer 2

我说说思路，你自己证明
第一步作辅助线
连接O1M，AM与O1O2交于K，过D点作O1O2垂线垂足为L，
很好证明，三角形O1MK与三角形O2LD相似，得到结论MK：LD=O1M：O2D=R1：R2
第二步
设AD与O1O2交于点P，连接PM，交圆1于H，很明显PA与PM对称，AB=MH
证明三角形LPD与三角形PAK三角形PKM相似
得到PM：PD=KM：LD=R1：R2
第三步
作PQ垂直于MD，垂足为Q
可以证明PQ=KM*SIN角PMD=LD*SIN角PDM=R1*SIN角PMD=R2*SIN角PDM
第四步，
在圆O1中，由于角PMD为弦切角，证明AB=MH=2*R1*SIN角PMD
同理，可证明CD=2*R2*SIN角PDM
结合第三步结论，得到
AB=CD

Answer 3

设AD与O1O2相交于N，连结MN并延长交O2于E、F
MD*MD=DB*DA　　　MD*MD=ME*MF
可证MN　　ME　　MF　分别等于AN　　AC　　AD
自己证吧