Question

请帮我证明一个简单的初等数论定理

怎么证明对任意v>u的正整数v和u，如果v和u没有公因子且不同时是奇数，则公式
A=v^2-u^2
B=2uv
C=v^2+u^2
产生了全部的素毕达哥拉斯三元数（素毕达哥拉斯三元数是两两之间没有公因子还是这三个数之间没有公因子？）？

Answer 1

素毕达哥拉斯数是指这三个数之间没有大于1的公因子 即最大公约数是1
下面证明你的问题
（1）首先 证明按照你说的方法产生的A B C 是素毕达哥拉斯三元数 很简单的 明显有A^2+B^2=C^2
（2）其次 证明所有的素毕达哥拉斯三元数 A B C （为方便计不妨设A^2+B^2=C^2） 均存在
互质的正整数v u(v>u 切 v u不同奇偶) 使得A=v^2-u^2 B=2vu C=v^2+u^2
或者 A=2vu B=v^2-u^2 C=v^2+u^2
1）由于 A B C的最大公约数是1 从而 ABC三个数不可能都是偶数 从而A B C三个中最多只有一个偶数
2）下证 A B C中恰好只有一个偶数 并且这个偶数不是C
若C为偶数 则A B为奇数 那么A^2=1(mod 4) B^2=1(mod 4) C^2=0(mod 4)
从而 A^2+B^2=C^2得 1+1=2=0(mod 4) 显然不成立 矛盾 所以C是奇数
3）若A为奇数 B^2=C^2-A^2=(C+A)(C-A) 由于C为奇数 所以C+A C-A均为偶数 故B为偶数
若B为奇数 A^2=C^2-B^2=(C+B)(C-B) 由于C为奇数 所以C+B C-B均为偶数 故A为奇数
4） 由上面分析可得 C是奇数 A B一奇一偶 不妨设A是奇数 B是偶数
那么由3）的第一条知道 C+A为偶 C-A为偶 从而 (C+A)/2 (C-A)/2 B/2均为正整数
故由B^2=(C+A)(C-A)可知 (B/2)^2=[(C+A)/2]*[(C-A)/2]
下证 (C+A)/2 (C-A)/2 互质 否则存在质数p>1 使得 p|(C+A)/2 p|(C-A)/2
则有p|[(C+A)/2+(C-A)/2]=C p|[(C+A)/2-(C-A)/2]=A 所以p|C p|A 从而p|B 这与
A B C互质矛盾 故(C+A)/2 (C-A)/2互质
由于(C+A)/2 (C-A)/2互质 而B^2=[(C+A)/2]*[(C-A)/2]
从而必存在正整数 v u使得(C+A)/2=v^2 (C-A)/2=u^2 从而 C=v^2+u^2 A=v^2-u^2
B=2vu