Question

帮忙看一道二重积分的简单定义问题

这张图片中，打问号的地方，是为什么？
那个 双重积分f（x，y）dx 是怎么一回事，前面定义的不是
双重积分f（x，y）dσ 是指 dσ面积之内的体积，那dx 是指？

Answer 1

新年好！Happy Chinese New Year ！

1、是你的老师，还是你教科书上说这句话：
双重积分f（x，y）dσ 是指 dσ面积之内的体积?
如果是你的老师这么说，那他就是标标准准的滥竽充数，是鬼混教师；
如果是你的教材这么说，那这本垃圾教材就是人渣教授所写，纯属误导。

2、二重积分，可以有各色各样的物理含义：
A、如果被积函数是质量密度，那么积分的意思就是质量；
B、如果被积函数是电量密度，那么积分的意思就是电量；
C、如果被积函数是能量密度，那么积分的意思就是能量；
D、如果被积函数是1，那么积分的意思就是面积；
E、如果被积函数是高的函数，那么积分的意思就是体积；
F、如果被积函数是磁感应强度，那么积分的意思就是磁通量；
G、如果被积函数是水流速度，那么积分的意思就是水的流量；
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
二重积分的概念，可以运用于整个科学、工程、经济、、、、、的各个具体领域。

dx 是x方向的无穷小长度；dy是y方向的无穷小长度；
dxdy 就是一个无穷小的矩形面积，我们称为微元，infinitesimal area。
dσ = dxdy 这是直角坐标系里的面积微元。

追问

对不起，上面那个面积的解释是课本里面的例子，有具体的背景，是我断章取义了，抱歉。你的解释很清楚详细我已经差不多懂了。不过那个问号那里是怎么从上面一步推导到下面一步的我还是没清楚，希望详细帮我讲解一下，谢谢了，可以吗？

对不起，上面那个面积的解释是课本里面的例子，有具体的背景，是我断章取义了，抱歉。你的解释很清楚详细我已经差不多懂了。不过那个问号那里是怎么从上面一步推导到下面一步的我还是没清楚，希望详细帮我讲解一下，谢谢了，可以吗？

追答

1、讲义的第二行，犯了一个错误，犯了一个误导。

      错误是：f(x,y)后不是dx，而是dxdy。这是二重积分，积分微元必须二元。

      误导是：这是一个暗示性误导，有些学生会以为dσ跟dxdy不是完全等同。

2、现在编写讲义太轻而易举了，学生学微积分就更难了。

      一是微积分本身就难学，难道什么什么程度? 我们古代数学与西方数学

                                            几乎齐头并进。但是从微积分理论开始，西方

                                            大量科学高歌猛进，迄今新理论层出不穷；而

                                            我们一直停滞不前，所有理论都不是我们建立

                                            的，千千万万的定律、定理、法则、方程、、、

                                            没有半个是我们的，至今依然如此。

         二是教师讲解不透、不妥；

         三是垃圾教材充斥于市，随意翻开一本微积分教材，不出三页，歪解、

                                               乱解、硬拗，无比比皆是。

具体说明，请参见下面的图片解说：

若有疑问，请追问；

若满意，请采纳。

谢谢。

Answer 2

那个dx应该更正为dσ或者dxdy。