探究:(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之

探究:(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:______;(... 探究:(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:______;(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=12∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;(3)在(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明. 展开
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柔美且灵活丶雏菊0
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解:(1)如图1,将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△ABF′,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAF′=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEF′中,
AF=AF′
∠EAF′=∠EAF
AE=AE

∴△AEF≌△AEF′(SAS),
∴EF=EF′,
又EF′=BE+BF′=BE+DF,
∴EF=BE+DF;

(2)结论EF=BE+DF仍然成立.
理由如下:如图2,将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△ABF′,
则△ADF≌△ABF′,
∴∠BAF′=∠DAF,AF′=AF,BF′=DF,∠ABF′=∠D,
又∵∠EAF=
1
2
∠BAD,
∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′,
∴∠EAF=∠EAF′,
又∵∠ABC+∠D=180°,
∴∠ABF′+∠ABE=180°,
∴F′、B、E三点共线,
在△AEF与△AEF′中,
AF′=AF
∠EAF=∠EAF′
AE=AE

∴△AEF≌△AEF′(SAS),
∴EF=EF′,
又∵EF′=BE+BF′,
∴EF=BE+DF;

(3)发生变化.EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF.
理由如下:如图3,将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,点F落在BC上点F′处,得到△ABF′,
∴△ADF≌△ABF′,
∴∠BAF′=∠DAF,AF′=AF,BF′=DF,
又∵∠EAF=
1
2
∠BAD,且∠BAF′=∠DAF,
∴∠F′AE=∠BAD-(∠BAF′+∠EAD)=∠BAD-(∠DAF+∠EAD)=∠BAD-∠FAE=∠FAE,
即∠F′AE=∠FAE,
在△F′AE与△FAE中,
AF=AF′
∠F′AE=∠FAE
AE=AE

∴△F′AE≌△FAE(SAS),
∴EF=EF′,
又∵BE=BF′+EF′,
∴EF′=BE-BF′,
即EF=BE-DF.
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