Question

设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为-12-12

设实数a，b，c满足a2+b2≤c≤1，则a+b+c的最小值为-12-12．

Answer 1

法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．
则a+b+c≥rcosθ+rsinθ+r²=r2+

2

rsin(θ+

π

4

)≥r2?

2

r=(r?

2

2

)2?

1

2

≥?

1

2

，当且仅当r＝

2

2

取等号．
∴a+b+c的最小值为-

1

2

．
故答案为：?

1

2

．（0≤r≤c≤1）．
法2：∵实数a，b，c满足a²+b²≤c≤1，
∴a+b+c≥a+b+a²+b²=(a+

1

2

)2+(b+

1

2

)2?

1

2

≥-

1

2

，当a=b=?

1

2

，c=

1

2

时取等号，
∴a+b+c的最小值为-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．