Question

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），f（x）在x=1处取得极值，且f（x）的导函数是偶函数．（1）若对于

已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R），f（x）在x=1处取得极值，且f（x）的导函数是偶函数．（1）若对于任意的x1，x2∈[-2，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（2）若过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3ax²+2bx-3=0，
由f′（x）是偶函数得b=0．
又f′（1）=0，
∴a=1．
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3=0，
解得x=±1．

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2		极大值		极小值		0

∵f（-1）=2，f（1）=-2，
∴当x∈[-2，2]时，[f（x）]_max=2，[f（x）]_min=-2．
则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有
|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min=4，
∴c≥4．
∴c的最小值为4．
（2）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x₀，y₀）．
则y0＝x03?3x0．
∵f′(x0)＝3x02?3，
∴切线的斜率为3x02?3．
则3x02?3＝

x03?3x0?m

x0?2

，
即2x03?6x02+6+m＝0．
因为过点点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程即2x03?6x02+6+m＝0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点．
则g′（x）=6x²-12x．
令g′（x）=0，解得 x=0或x=2．

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		极大值		极小值

∴

g(0)＞0 g(2)＜0

 即

6+m＞0 ?2+m＜0

，
解得-6＜m＜2．