Question

设O是△ABC内部一点,且满足OA向量+2OB向量+3OC向量=零向量,则△ABC与△OBC的面积之比为？

书上的答案是：设M,N分别为AC,BC的中点，则向量OA+向量OC=2向量OM , 向量OB+向量OC=2向量ON,所以向量OM=-2向量ON , 即O,N,M三点共线 ，得ON=1/3MN=1/6AB . 所以△ABC与△OBC的面积之比为1/6

我不明白为什么ON=1/6AB ， 就能证明△ABC与△OBC的面积之比为1/6 。 ON和AB不像是他们的高啊？

Answer 1

正确答案是：我们就把OB.OC延长一倍出去的点叫做B',C'，那么O是三角形AB'C'的重心，所以三角形OBC的面积是三角形OB'C'面积的1/4，也是三角形AB'C'面积的1/12，而三角形ABO和三角形ACO的面积都是AB'C'的1/6,则三角形ABC和三角形OBC面积比为:(1/6+1/6+1/12):(1/12)=5:1

Answer 2

做BC边上的高AD和OE
看三角形ABD和三角形ONE，是相似的
AD:OE=AB:ON=6
三角形ABC和三角形OBC底相等，高的比为6，所以，面积比为6