Question

已知二次函数 y= x 2 +kx+ 1 2 k- 7 2 ．（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图

已知二次函数 y= x 2 +kx+ 1 2 k- 7 2 ．（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k 2 x 2 +（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x 2 +2（a+k）x+2a-k 2 +6k-4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．

Answer 1

（1）证明：x 2 +kx+ 1 2 k- 7 2 =0， △ 1 =b 2 -4ac=k 2 -4（ 1 2 k- 7 2 ） =k 2 -2k+14 =k 2 -2k+1+13 =（k-1） 2 +13＞0， ∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点； （2）∵二次函数y=x 2 +kx+ 1 2 k- 7 2 的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上， ∴当x=1时，函数值y＜0， 即1+k+ 1 2 k- 7 2 ＜0， 解得：k＜ 5 3 ， ∵关于x的一元二次方程k 2 x 2 +（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△ 2 =b 2 -4ac=（2k+3） 2 -4k 2 =4k 2 +12k+9-4k 2 =12k+9＞0， ∴k＞- 3 4 且k≠0， ∴- 3 4 ＜k＜ 5 3 且k≠0， ∴k=1； （3）由（2）可知：k=1， ∴x 2 +2（a+1）x+2a+1=0， 解得x 1 =-1，x 2 =-2a-1， 根据题意，0＜-2a-1＜3， ∴-2＜a＜- 1 2 ， ∴a的整数值为-1．