Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，an+1-Sn=n．（Ⅰ） 求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，an+1-Sn=n．（Ⅰ） 求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ） 设数列{bn}的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线xn+1?yn＝12上，在（Ⅰ）的条件下，若不等式b1a1+1+b2a2+1+…+bnan+1≤t2?3t对于n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n+1-S_n=n，得a_n-S_n-1=n-1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n-（S_n-S_n-1）=1，即a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又a₁=0，a₂=1，则a₂+1=2（a₁+1），所以a_n+1+1=2（a_n+1）对任意n∈N^*成立，
所以数列{a_n+1}是以a₁+1=1为首项，2为公比的等比数列．
所以，数列{a_n}的通项公式an＝2n?1?1．
（Ⅱ）因为点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

?

y

n

＝

1

2

上，所以

Tn+1

n+1

?

Tn

n

＝

1

2

，故{

Tn

n

}是以

T1

1

＝1为首项，

1

2

为公差的等差数列，则

Tn

n

＝1+

1

2

(n?1)，所以Tn＝

n(n+1)

2

，
当n≥2时，bn＝Tn?Tn?1＝

n(n+1)

2

?

(n?1)n

2

＝n，b₁=1满足该式，所以b_n=n．
不等式

b1

a1+1

+

b2

a2+1

+…+

bn

an+1

≤t2?3t，即为1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n?1

≤t2?3t，
令Rn＝1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n?1

，则

1

2

Rn＝

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，两式相减得(1?

1

2

)Rn＝1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n?1

?

n

2n

＝2?

n+2

2n

，所以Rn＝4?

n+2

2n?1

．
所以Rn＝4?

n+2

2n?1

＜4．
由Rn≤t2?3t恒成立，即t²-3t≥4，解得t≤-1或t≥4．