Question

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2-25a与x轴交于A、B两点，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴

在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2-25a与x轴交于A、B两点，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，与y轴相交于点C，点D（3，4）在抛物线上，连接OD，AD．（1）如图1，求此抛物线的解析式及线段OD、AD的长；（2）如图2，动点E在线段AD上（点E不与点A、D重合），点F在OA上，且∠OEF=∠OAD，设线段AE的长为m，线段AF的长为d，求d与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线y=ax2-25a上，且在第二象限内，当d取最大值时，若∠QCO=2∠EOF，求点Q的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）将D（3，4）代入y=ax²-25a得，4=a×3²-25a，解得：a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x²+

25

4

得
当y=0时，0=-

1

4

x²+

25

4

，
解得：x₁=-5，x₂=5，
∴B（-5，0），A（5，0），
∴OA=5．
如图1所示，过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=4，OH=3，AH=2，
∴OD=

OH2+DH2

=

32+42

=5；AD=

AH2+DH2

=

22+42

=2

5

；

（2）∵∠OEF=∠OAD，
∴∠OED=∠EFA，
又∵OD=OA=5，
∴∠EAF=∠ODE，
∴△EAF∽△ODE，
∴

EA

OD

=

AF

DE

，∴

m

5

=

d

2 5 ?m

，
∴d=-

1

5

m²+

2 5

5

m，（0＜m＜2

5

）；

（3）对于d=-

1

5

m²+

2 5

5

m中，
∵a=-

1

5

，b=

2 5

5

，
∴当m=-

b

2a

=

5

时，d最大=

4ac?b2

4a

=

?( 2 5 5 )2

4×(? 1 5 )

=1．
∴AF=1，OF=4，AE=DE=

5

，
∵OA=OD，
∴OE⊥AD，
∴∠AOD=2∠AOE=2∠EOF；
由（1）得，tan∠DOA=

DH

OH

=

4

3

，
对于y=-

1

4

x²+

25

4

，当x=0时，y=

25

4

，
∴C（0，

25

4

），
∴OC=

25

4

，
如图2所示，过点Q作QK⊥OC于点K，
∵∠QCO=2∠EOF=∠DOA，
∴tan∠QCK=tan∠DOA=