Question

在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线Y=ax^2-2ax+b经过点A(-2,0),C(2,8)两点,与

Y轴交于点D，与X轴交于另一点B,点E的坐标为（0，-2），能否将⊿OEB绕平面内某点旋转90度后使得⊿OEB的两个顶点落在抛物线上，若能，求出旋转中心的坐标，若不能，请说明理由

Answer 1

Y=ax^2-2ax+b=a(x-1)^2-a+b
过点A(-2,0),C(2,8)，代入解得a=-1，b=8。
进而易得B(4,0).分为3种情况，（1）旋转后OE在抛物线上；（2）旋转后OB在抛物线上；（3）旋转后BE在抛物线上。
1、旋转后OE在抛物线上：
设为O’E‘，则O’E‘平行于x轴，抛物线y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9，对称轴x=1，则x1=1-|OE|/2=1-1=0,x2=1+1=2.两点(0,8)、(2,8).这时也有分别：1‘ O’(0,8)、E‘(2,8).2’ E‘(0,8)、O’(2,8).
然后分两种情况分别作OO'，EE'的中分线，其交点即为其旋转中心。
2、旋转后OB在抛物线上：
OB||x轴，则O'B'||y轴，但抛物线y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9，不成立。
3、旋转后BE在抛物线上：
BE边旋转90°后所得线段B'E'与BE垂直，直线斜率k(BE)=1/2,则k(B'E')=-2.
设旋转后B'E'所在直线方程为：y=-2x+m.
抛物线：y=-x^2+2x+8，联立，解方程，得：
(x,y)=(2+√(12-m),m-4-2√(12-m)) 或 (x,y)=(2-√(12-m),m-4+2√(12-m))
此为两交点坐标，求距离使其等于|BE|=√20=2√5.有：
|BE|=√（20（12-m））=√20，从而有m=11.两点坐标：
(3,5),(1,9)。然后分1‘ B’(3,5),E'(1,9)；2‘ E'(3,5),B'(1,9)两种情况，分别作BB'与EE'的垂直平分线，两者交点即为其旋转中心。
综上，共有4种可能性，4个旋转中心。剩下的就是计算，你自己来吧。感觉可以的话，请采纳。