Question

椭圆有哪些性质

Answer 1

椭圆的面积公式
　　S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 　　或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
　　椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 　　椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 　　L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)²)dt≈2π√((a²+b²)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 　　椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 　　e=PF/PL
椭圆的准线方程
　　x=±a^2/c
椭圆的离心率公式
　　e=c/a(0<e<1,因为2a>2c) 　　椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c) 的距离为b^2/c
椭圆焦半径公式
　　焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点) 　　椭圆过右焦点的半径r=a-ex 　　过左焦点的半径r=a+ex 　　焦点在y轴上：|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点) 　　椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a
点与椭圆位置关系
　　点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 　　点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 　　点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 　　点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2>1
直线与椭圆位置关系
　　y=kx+m ① 　　x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 　　由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 　　相切△=0 　　相离△<0无交点 　　相交△>0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) 　　|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
椭圆的斜率公式
　　过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y 　　椭圆焦点三角形面积公式 　　若∠F1PF2=θ, 则S=b^2tanθ/2
编辑本段椭圆参数方程的应用
　　求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 　　x=a×cosβ， y=b×sinβ a为长轴长的一半 　　相关性质 　　由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。 　　例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 　　将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。 　　设两点为F1、F2 　　对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 　　则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 　　由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点 　　用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 　　例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3. 　　（1）求椭圆C的方程. 　　（2）直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值. 　　（3）在（2）的基础上求△AOB的面积. 　　一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1， 　　二 要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括号表示绝对值）弦长=3√2/2,对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5), 　　三 直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的√2/2,面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4,