Question

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以 cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以 cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

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Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2， ∴AB=BC=2，∠BAC= ∠DAB。 又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。 如图1，连接BD交AC于O。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA= AC。 ∴OB= AB=1。∴OA= ，AC=2OA=2 。 运动ts后，AP= t，AO=t，∴ 。 又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB. ∴PQ∥BC. （2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。 在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= 。 由PM=PQ=AQ=t，即 =t，解得t= ， 此时⊙P与边BC有一个公共点。 如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB， ∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60° ∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。 ∴当 时，⊙P与边BC有2个公共点。 如图4， ⊙P过点C，此时PC=PQ，即  =t ∴t= 。 ∴当1≤t≤ 时，⊙P与边BC有一个公共点。 当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B， 此时，⊙P与边BC有一个公共点。 综上所述，当t= 或1≤t≤ 或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当 时，⊙P与边BC有2个公共点。

直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。 （2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。