Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°。动点P、Q同时从点A出发，其中P以4m/s的速度

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°。动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2√3cm/s的速度，沿A→C的路线向C运动。当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒。
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N
①当t为何值时，点P、M、N在同一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝2√3t. 则 APAQ＝4t/2√3t＝2√3/3 ，
又 ∵ AO＝10√3，AB＝20，∴ ABAO＝20/10√3＝2√3/3
∴ APAQ＝AB AO
又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO
∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC
当5＜t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC
∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝8√3t/3，又AQ＝2√3t，
QM＝20√3－4√3t
由AQ＋QM＝AM 得2√3t＋20√3－4√3t＝8√3t/3
解得t＝30/7 ∴ 当t＝30/7时，点P、M、N在一直线上.
② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.
∴ MH＝2NH，得 20√3－4√3t－2√3t/3＝2×8√3t/3 解得t＝2

如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.
∴ MH＝2PH，同理可得t＝ 20/3
故 当t＝2或 20/3 时，存在以PN为一直角边的直角三角形

Answer 2

so easy