Question

如图，四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，DB是一条对角线．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若DB中点是O，作OE

如图，四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，DB是一条对角线．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若DB中点是O，作OE⊥AB于E，作OF⊥DC于F．求证：OE=OF．

Answer 1

(1)证明:因为AB=DC
AD=BC
BD=BD
所以三角形ABD全等三角形CDB (SSS)
(2)证明:因为OE垂直AB
所以角OEB=90度
因为OF垂直DC
所以角OFD=90度
所以角OEB=角OFD=90度
因为三角形ABD全等三角形CDB (已证)
所以角OBE=角ODF
因为O是BD的中点
所以OB=OD
所以三角形OBE全等三角形ODF (AAS)
所以OE=OF

Answer 2

证明：（1）∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABD≌△CDB；

（2）∵AB∥CD，
∴∠FDO=∠EBO，
∵OE⊥AB，OF⊥DC，
∴∠BEO=∠DFO=90°，
∴△BOE≌△DOF，
∴OE=OF．