Question

设函数f（x）=k×2x-2-x是定义域为R的奇函数．（1）求k的值，并判断f（x）的单调性（不需要用定义证明）

设函数f（x）=k×2x-2-x是定义域为R的奇函数．（1）求k的值，并判断f（x）的单调性（不需要用定义证明）；（2）解不等式f[f（x）]＞0； （3）设g（x）=4x+4-x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=k×2^x-2^-x是奇函数，∴f（0）=0，∴k×2⁰-2^-0=0，∴k=1．

∴f(x)＝2x?2?x

，此时f（-x）=-f（x），满足题意
∵y=2^x是增函数，∴y=-2^-x是增函数，∴f（x）=2^x-2^-x是增函数；
（2）∵f[f（x）]＞0，∴f[f（x）]＞f（0）．
∵f（x）=2^x-2^-x是增函数，∴2^x-2^-x＞0，∴2^x＞2^-x，∴x＞0，∴f[f（x）]＞0的解集是（0，+∞）．
（3）令2^x-2^-x=t，∵x≥1，∴t≥

3

2

，y＝t2?2mt+2＝(t?m)2+2?m2(t≥

3

2

)，
①当m≥

3

2

时，g(x)min＝2?m2，∴2-m²=-2，∴m=2．
②当m＜

3

2

时，y在t=

3

2

时取最小值，

9

4

?3m+2＝?2，∴m＝

25

12

（舍去）．
综上得m=2．