Question

为什么说积分是微分的逆运算。

能举个例子吗？比如微分学中乘积求导法则和分部积分法则有什么内在联系？或者链式法则和求积分是所用的变量替换有什么联系？

Answer 1

1. 求导数是求瞬时变化率，即 Limit [ Δy/Δx, Δx->0]
不定积分，是已知导函数，求原函数。基础是基本的求导公式以及求导法则。
2. （ u * v ) ' = u ' * v + u * v ' => u * v ' = （ u * v ) ' - u ' * v
两端对x积分，得： ∫ u * v ' dx = ∫ ( u * v ) ' dx - ∫ u ' * v dx
= u * v - ∫ u ' * v dx
3. 设F(u)是f(u)的原函数, d Fu) /dx = F' (u) * du/dx = f(u) * u ' dx.
∫ f(u) * u ' dx = ∫ f(u) du = F(u) + C

追问

谢谢您的回答。关于第三个式子，我觉得不定积分是求某个函数，使得这个函数对微分符号d后面那个字母的导函数为已知函数。 ∫，dx之类的只是一些记号，为什么 ∫后面的内容用求导法则展开后相等它们对应的原函数就相等；换句话说这个符号和求原函数之间有什么联系我不明白。

追答

不定积分是求被积函数f（x）的全体原函数，求一个函数F（x），F（x）+ C 即可。
如果 两个函数对x 的导数相等，两个函数之间必相差一个常数。

追问

我在想求原函数集，为什么它还要加个微分符号，这个不定积分符号这么写有什么意思，是不是完全为了利用微分性质简化计算。

追答

∫ 是拉长的“S”， S--Sum，求和。
微积分基本公式：Newton-Leibniz 公式。
这些记号是三百多年前，两位微积分创始人Newton & Leibniz 用的。

Answer 2

简单的说，微分就是把东西无限细分，在进行运算。而积分是把很多很小的东西合成一个东西的思想运算。比如曹冲称象，就是把大象细分成许多石块，再一一运算。
呵呵，本人还没学到这，一知半解，见笑了。希望对你有帮助。