Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x2-3x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x2-3x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）-5x+1在[m，m+1]上的最小值为-2，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）令1-x=t，则x=t-1，
得f（t）=（1-t）²-3（1-t）+3，
化简得f（t）=t²+t+1，
即f（x）=x²+x+1，x∈R．
（2）∵g（x）=f（x）-5x+1
∴g（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2（m≤x≤m+1），
∵m≤x≤m+1，g（x）_min=-2，
∴m≤2≤m+1，
∴1≤m≤2．