Question

已知复数z1满足（1-i）z1=1+3i，z2=a-i（a∈R），其中i为虚数单位．（1）求z1（2）若z1是关于x的实系数方

已知复数z1满足（1-i）z1=1+3i，z2=a-i（a∈R），其中i为虚数单位．（1）求z1（2）若z1是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根，求实数p、q的值．（3）若 | z1?.z2 | ＞ 2 |z1|，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）因为复数z₁满足（1-i）z₁=1+3i，
所以z1＝

1+3i

1?i

＝

(1+3i)(1+i)

(1?i)(1+i)

＝?1+2i…（3分）
（2））z₁是关于x的实系数方程x²-px+q=0的一个根，实系数方程虚根成对，
由韦达定理可知p=-1+2i+（-1-2i）=-2，q=（-1+2i）（-1-2i）=1+4=5，
所以p=-2，q=5…（6分）
（3）z1?

.

z2

 ＝(?1+2i) ?(a+i) ＝?1?a+i…（8分）
由| z1?

.

z2

 | ＞ 

2

  |z1|，∴（-1-a）²+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2故实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（12分）