Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[-2，0]时，f（x）=（22）x-1，若在区间（-2，

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[-2，0]时，f（x）=（22）x-1，若在区间（-2，6）内，函数y=f（x）-loga（x+2），（a＞0，a≠1）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（　　）A．（1，4）B．（4，+∞）C．（14，1）∪（4，+∞）D．（0，1）∪（1，4）

Answer 1

∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
又f（2+x）=f（2-x），
即f（x+4）=f（-x）
∴f（x+4）=f（x），
则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（

2

2

）^x-1，
f（x）是定义在R上的偶函数，
∴当x∈[0，2]时，f（x）=（

2

2

）^-x-1，
结合题意画出函数f（x）
在x∈（-2，6）上的图象
与函数y=log_a（x+2）的图象，
结合图象分析可知，
要使f（x）与y=log_a（x+2）的图象，
恰有1个交点，
则有0＜a＜1或

a＞1 loga(2+2)＞1

，
解得0＜a＜1或1＜a＜4，
即a的取值范围是（0，1）∪（1，4）．
故选：D．