Question

已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[?12，

已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[?12，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，∴f′（x）=3ax²+2bx，
由题意可知

f(1)＝a+b＝1 f′(1)＝3a+2b＝0

，
解得a=-2，b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=-2x³+3x²，∴f′（x）=-6ax²+6x=-6x（x-1），
令f′（x）=-6ax²+6x=-6x（x-1）=0可解得，
x=0或x=1；
∵f（-

1

2

）=1，
f（0）=0，
f（1）=1，
f（2）=-4；
故函数f（x）在区间[?

1

2

，2]上的最大值是1，最小值为-4．