Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(32?x)＝f(x)，f（-2）=-3，数列{an}满足a1=-1，且Snn＝2×ann

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(32?x)＝f(x)，f（-2）=-3，数列{an}满足a1=-1，且Snn＝2×ann+1（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）=______．

Answer 1

∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f(

3

2

?x)＝f(x)，
∴f(

3

2

?x)＝?f(?x)
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵S_n=2a_n+n，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1），（n≥2）．
两式相减并整理得出a_n=2a_n-1-1，即a_n-1=2（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}是以2为公比的等比数列，首项为a₁-1=-2，
∴a_n-1=-2?2^n-1=-2ⁿ，a_n=-2ⁿ+1，
∴a₅=-31，a₆=-63，
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故答案为：3．