Question

设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)不等于0,f'(0)不等于 0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h趋向于

0时，是比h 的高阶无穷小，试确定a,b 的值

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Answer 1

解：
由已知，h->0时a*f(h)+b*f(2h)-f(0)是h 的高阶无穷小，有：
lim(h->0)[a*f(h)+b*f(2h)-f(0)]/h =0
==> lim(h->0)[a*f(h)-a*f(0)+b*f(2h)-b*f(0)+(a+b)*f(0)-f(0)]/h =0
==> lim(h->0){a*[f(h)-f(0)]/h + 2b*[f(2h)-f(0)]/(2h) + (a+b-1)*f(0)/h} =0
==> (a+2b)*f’(0) + lim(h->0)[(a+b-1)*f(0)/h] =0

f(x)在 x=0邻域连续可导，因此f'(0)有界
lim(h->0)[(a+b-1)*f(0)/h] 中f(0)≠0，因此必有 a+b-1 = 0； ----(1)
==> lim(h->0)[(a+b-1)*f(0)/h] = 0;
==> (a+2b)*f’(0) =0;
f’(0) ≠0 ==> a+2b = 0； ---(2)
(1)(2)联立解得：
a=2, b=-1；