Question

设函数F(x)连续,且f'(0)>0,则存在δ>0,使得()

A.f(x)在(0,δ)内单调增加

B.f(x)在(-δ,0)内单调减少
C.对任取x属于(0,δ),f(x)>f(0)
D.对任取x属于(-δ,0),f(x)>f(0)
为什么答案不选A，而只选C呢
虽然说f'x 不一定连续，但既然f'(x)>0,就说明其在x=0处的右极限存在且大于0，在x从右边趋近于0的时候，f'(x)>0.....所以a对啊
x趋近于0的极限和x=0 算了，还是不懂

Answer 1

f'(x0)存在是保证不了f'(x)在x0处极限存在的，例如f(x)=(x^2)sin(1/x) x≠0
0 x=0
用定义求f(x)在x=0处的导数，f'(0)=lim[x^2*sin(1/x)-0]/(x-0)=limxsin(1/x)=0，即f'(0)存在，但用求导公式计算f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，当x趋于0时limf'(x)不存在。因此你说的f'(x)>0可以保证x=0处右极限大于0是错的，因为导函数的右极限不一定存在！