Question

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外）.过M分别作MC⊥O

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外）.过M分别作MC⊥OA于点C.MD⊥OB于点D. （1）当点M在AB上运动时.你认为四边形OCMD的周长是否发生变化了并说明理由. （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动.设平移的距离为a（0<a<4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为5， 试求S与a的函数关系式，并画出该函数的图象。

Answer 1

解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0<x<4，-x+4>0）；则：     则C四边形OCMD=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8 ∴当点M在AB上运动时.四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8.   （2）根据题意得：C四边形OCMD=MC·MD=（-x+4）·x= -x 2 + 4x=-（x-2） 2 +4，     ∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0<x<4)的二次函数， 并且当x=2，即当点M运动到线段AB的中点时. 四边形OCMD的面积总大.最大面积为4. (3）如图，当0<a≤2时. 当 2≤a<4时 ∴S与a 的函数的图象如图所示.