Question

如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，求证：△ABC是直角三角形

如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

证明：如图，作线段AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E，易证△AED≌△BED． ∴AD= 1 2 AB= 1 2 ×2AC=AC，∠B=∠EAD． ∵∠BAC=2∠B，∠EAD+∠EAC=∠BAC， ∴∠EAC=∠EAD． 在△AEC和△AED中，AE=AE，∠EAC=∠EAD，AC=AD， ∴△AEC≌△AED． ∴∠C=∠EDA． ∵∠EDA=90°， ∴∠C=90°． 故△ABC是直角三角形．

Answer 2

解：过A
作∠CAB
的角平分线,
交BC
于D,
过D
作DE
⊥AB
于E
∵∠BAC=2
∠B
∴∠CAD=
∠DAB=
∠B
在△DAE
和△DBE
中
∠DAE=
∠B,
∠DEA=
∠DEB=90
°,DE=DE
∴△DAE
≌△DBE(AAS)
∴AE=BE=AB=AC在△ACD和△AED中AC=AE,
∠CAD=∠EAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED(SAS)
∴∠C=∠DEA=90°
∴△ABC为直角三角形