Question

如图，已知二次函数 y=- 1 2 x 2 +bx+c 的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．（1）求这个

如图，已知二次函数 y=- 1 2 x 2 +bx+c 的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．（1）求这个二次函数的解析式．（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．（3）根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．（4）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向下平移______个单位．

Answer 1

（1）把A（2，0）、B（0，-6）代入 y=- 1 2 x 2 +bx+c ， 得： -2+2b+c=0 c=-6 ， 解得 b=4 c=-6 ， ∴这个二次函数的解析式为 y=- 1 2 x 2 +4x-6 ； （2）∵该抛物线对称轴为直线 x=- 4 2×(- 1 2 ) =4 ， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴AC=OC-OA=4-2=2， ∴ S △ABC = 1 2 ×AC×OB= 1 2 ×2×6=6 ； （3）当y=0时， - 1 2 x 2 +4x-6=0 ， 解得，x 1 =2，x 2 =6， 由图可知，x＜2或x＞6． （4）将（2）中所求x=4代入解析式，即可得顶点坐标为- 1 2 ×4 2 +4×4-6=2， 可见把图象沿y轴向下平移2个单位，则该二次函数的图象与x轴只有一个交点． 故答案为：2．