Question

如图，点O是△ABC的内角平分线的交点，O′是△ABC的外角平分线的交点求证：（1）∠AOB=90°+ 1 2

如图，点O是△ABC的内角平分线的交点，O′是△ABC的外角平分线的交点求证：（1）∠AOB=90°+ 1 2 ∠C ；（2）∠AO′B=90°- 1 2 ∠C ．

Answer 1

证明：（1）如图∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180°， 在△AOB中，∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°， ∵AO，BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线， ∴∠CAB=2∠OAB，∠ABC=2∠OBA， ∴∠ABO+ 1 2 ∠CAB+ 1 2 ∠ABC=180°， 又∵在△ABC中，∠C+∠CAB+∠ABC=180° ∴∠AOB= 1 2 ∠C+90°； 证明：（2）O′是△ABC的外角平分线的交点， 则∠O′AB= 1 2 ∠EAB= 1 2 （180°-∠CAB）=90°- 1 2 ∠CAB， ∠ABO′= 1 2 ∠ABF=90°- 1 2 ∠CBA， ∴∠O′AB+∠ABO′=180°- 1 2 （∠CAB+∠CBA） 又∵∠CAB+∠CBA=180°-∠C， ∴∠O′AB+∠ABO′=90°+ 1 2 ∠C， 在△ABO′中利用内角和定理得到： ∠AO′B=180°-（∠O′AB+∠O′BA）=180°-（90°+ 1 2 ∠C）=90°- 1 2 ∠C．