Question

设an=logn+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…ak为整数的k为“希望数”，则在1，2013内所有“希望数”的个数

设an=logn+1（n+2）（n∈N*），称a1a2a3…ak为整数的k为“希望数”，则在1，2013内所有“希望数”的个数为______．

Answer 1

∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

∴a₁?a₂?a₃…a_k=

log23

log22

×

log24

log23

×…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2），
又∵a₁?a₂?a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
由2ⁿ-2＜2013，得2ⁿ＜2015．解得n＜10，又n∈N^*，∴n=9．
∴k∈（1，2013）内所有的“希望数”的个数是9．
故答案为：9．