Question

设λ1，λ2是3阶矩阵A的两个不同的特征值，α1，α2是A的属于λ1的线性无关的特征向量，α3是A的属于λ2

设λ1，λ2是3阶矩阵A的两个不同的特征值，α1，α2是A的属于λ1的线性无关的特征向量，α3是A的属于λ2的特征向量，则α1+Aα3，A（α2-α3），Aα1+α3线性相关的充分必要条件是（　　）A．λ1=0或λ1λ2=1B．λ2=0或λ1λ2=1C．λ1≠0且λ1λ2≠1D．λ2≠0且λ1λ2≠1

Answer 1

由题意，Aα₁=λ₁α₁，A（α₂-α₃）=λ₁α₂-λ₂α₃，Aα₃=λ₂α₃
∴α₁+Aα₃=α₁+λ₂α₃
∴α₁+Aα₃，A（α₂-α₃），Aα₁+α₃线性相关?
存在不全为零的实数k_i（i=1，2，3），使得
k₁（α₁+λ₂α₃）+k₂（λ₁α₂-λ₂α₃）+k₃（λ₁α₁+α₃）=0
?（k₁+k₃λ₁）α₁+k₂λ₁α₂+（k₁λ₂-k₂λ₂+k₃）α₃=0
?关于实数k_i（i=1，2，3）的齐次线性方程组

k1+k3λ1＝0 k2λ2＝0 k1λ2?k2λ2+k3＝0

有非零解
?系数行列式为0，即

.

1 0 λ1 0 λ2 0 λ2 ?λ2 1

.

=λ₂（1-λ₁λ₂）=0
?λ₂=0或λ₁λ₂=1
故选：B．