Question

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（1）是否存在实数m，使得不等式f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立？若存在

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（1）是否存在实数m，使得不等式f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．（2）求证：(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)…[1+2n(2n?1+1)(2n+1)]＜e（其中nθ∈N*，e是自然对数的底数）．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x

?m；
①当m≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，不合题意；
②当m＞0时，f′（x）=

1?mx

x

；
∴x∈(0，

1

m

)时，f′（x）＞0，x∈（

1

m

，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f(

1

m

)＝?lnm?1+m是f（x）的极大值，也是最大值；
∴要使f（x）≤0恒成立，只要-lnm-1+m≤0；
令g（m）=-lnm-1+m，g′（m）=1?

1

m

；
∴m∈（0，1）时，g′（m）＜0，m∈（1，+∞）时，g′（m）＞0；
所以g（1）=0是g（m）的最小值，即
g（m）≥0，即：
-lnm-1+m≥0；
∴-lnm-1+m=0；
∴m=1；
∴存在实数m=1，使不等式f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立；
（2）证明：据（1）知lnx≤x-1在（0，+∞）上恒成立；
所以ln（x+1）≤x在区间（-1，+∞）上恒成立
又

2n

(2n?1+1)(2n+1)

＝2(

1

2n?1+1

?

1

2n+1

)；
∴ln{(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)?…?[1+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

]}=ln(1+

2

2×3

)+ln(1+

4

3×5

)+ln(1+

8

5×9

)+…+ln[1+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

]＜

2

2×3

+

4

3×5

+

8

5×9

+…+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

=2[(

1

2

?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+(

1

5

?

1

9

)+…+(

1

2n?1+1

?

1

2n+1

)]=2[(

1

2

?

1

2n+1

)]＜1；
∴(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)?…?[1+

2n

(2n?1+1)(2n+1)

]＜e．