Question

△ABC的内角A B C的对边分别为a b c ，A－C=90° a+c=b×√2 求角C

Answer 1

解：∵A-C=90°，∴sinA=sina（90°+C）=cosC。 ∵A+B+C=180°，∴90°+C+B+C=180°，得，B=90°-2C。 由三角形正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC 得，a/sinA=c/sinC=a/cosC，∴a=c·cosC/sinC；又得，b/sinB=c/sinC=b/sin（90°-2C）=b/cos2C。 把a、b关于c和C角关系代入a+c=b×√2，得，c·cosC/sinC+c=（c·cos2C/sinC）×√2，c≠0，等式两边约去c，得到C角关系式，cosC/sinC+1=（cos2C）×√2， sinC≠0，等式两边同时乘以sinC得，cosC+sinC=√2·cos2C=√2·（cos²C-sin²C）=√2·（cosC+sinC）（cosC-sinC），cosC+sinC≠0，等式两边约去cosC+sinC，得，1=√2·（cosC+sinC），再两边平方，得，1=2（cos²C+sin²C+2cosCsinC），1/2=1+2cosCsinC=1+sin2C，sin2C=1/2，∴2C=30°，即得，C=15°。解完。

Answer 2

a+c=根号2b。
sinA+sinC=根号2sinB,
sin(90+C)+sinC=根号2sin(A+C),
cosC+sinC=根号2sin(90+2C),
cosC+sinC=根号2cos2C,
cosC+sinC=根号2(cos^2C-sin^2C)
cosC+sinC=根号2(cosC+sinC)( cosC-sinC)
由已知C是锐角，所以根号2( cosC-sinC)=1，
2cos (C+45) =1，C+45=60,C=15度.