Question

已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则（　　

已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则（　　）

Answer 1

（1）由已知得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
从而得2q²-3q+1=0
解得q＝

1

2

或q＝1（舍去）…（4分）
所以a_n=a₁?q^n-1=

1

2

?（

1

2

）^n-1=(

1

2

)n．
∴数列{a_n}的通项公式为an＝(

1

2

)n；…（6分）
（2）由于bn＝2log

1

2

(

1

2

)n＝2n?Sn＝n(n+1)，anSn＝

n(n+1)

2n

．
因此所证不等式等价于：2ⁿ＞n（n+1）（n≥5．）
①当n=5时，因为左边=32，右边=30，32＞30，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时不等式成立，即2^k＞k（k+1），
两边同乘以2得2^k+1＞（k+1）（k+2）．
这说明当n=k+1时也不等式成立．
由①②知，当n≥5时，2ⁿ＞n（n+1）成立．
因此，当n≥5时，a_nS_n＜1成立．…（12分）