Question

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）△AEF与△ABE相似吗？

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．（2）BD2=AD?DF吗？请说明理由．

Answer 1

（1）△AEF与△ABE相似，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵在△ABD和△BCE中，

AB＝BC  ∠ABD＝∠C    BD＝EC

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠2，
又∵∠AFE=∠2+∠3，
∴∠AFE=∠1+∠3=60°，
∴在△AEF和△ABE中，
∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，
∴△AEF∽△BEA；

（2）BD²=AD?DF，理由如下：
∵在△ABD和△BFD中，
∠BDF=∠ADB，∠1=∠2，
∴△ABD∽△BFD，
∴

BD

AD

＝

FD

BD

，
∴BD²=AD?DF．