Question

设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，试证在（a，b）内至少存在一个ξ，使f（ξ）=ξ

设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，试证在（a，b）内至少存在一个ξ，使f（ξ）=ξ．

Answer 1

解答：证明：
假设：F（x）=f（x）-x，x∈[a，b]，
则：F（a）=f（a）-a＜0，F（b）=f（b）-b＞0，
因为f（x）在区间[a，b]连续，
所以F（x）在区间[a，b]也连续，且存在a，b使F（x）的值异号，
于是由介值定理在（a，b）内至少存在一个ξ，使：F（ξ）=0，
即在（a，b）内至少存在一个ξ，使f（ξ）=ξ，证毕．