如图,已知:AD是三角形ABC的角平分线,DE,DF分别是三角形ABD,三角形ACD的高,求证:AD垂直平分EF.
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证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在线段EF的垂直平分线上．
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
{AD=AD
DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴AE=AF．
∴A点在EF的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
图：D:\My Documents\My Pictures\50755fcb.jpg
∴DE=DF．
∴D在线段EF的垂直平分线上．
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
{AD=AD
DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴AE=AF．
∴A点在EF的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
图：D:\My Documents\My Pictures\50755fcb.jpg
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