Question

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）

已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值．

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Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意 ∴b=1， ∴所求椭圆方程为 ． （Ⅱ）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）． （1）当AB⊥x轴时， ． （2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y=kx+m． 由已知 ，得 ． 把y=kx+m代入椭圆方程， 整理得（3k 2 +1）x 2 +6kmx+3m 2 ﹣3=0， ∴ ， ． ∴|AB| 2 =（1+k 2 ）（x 2 ﹣x 1 ） 2 =             = =             = = ． 当且仅当 ，即 时等号成立． 当k=0时， ，|AB| max =2． ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值 ．