Question

已知函数f(x)=x 4 +ax 3 +2x 2 +b（x∈R），其中a，b∈R，（Ⅰ）当a= 时，讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）

已知函数f(x)=x 4 +ax 3 +2x 2 +b（x∈R），其中a，b∈R，（Ⅰ）当a= 时，讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ） ， 当 时， ， 令f′(x)=0，解得 ， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以f(x)在 内是增函数，在 内是减函数． （Ⅱ） ，显然x=0不是方程 的根， 为使f(x)仅在x=0处有极值，必须 成立， 即有 ，解不等式，得 ， 这时，f(0)=b是唯一极值； 因此满足条件的a的取值范围是 。 （Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知 ， 从而 恒成立， 当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0， 因此函数f(x)在[-1，1]上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者， 为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立， 当且仅当 ，即 在a∈[-2，2]上恒成立，所以b≤-4， 因此满足条件的b的取值范围是 ．