Question

AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB=2，AC=1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB与平面所成角为45°（1）

AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB=2，AC=1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB与平面所成角为45°（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB是圆O的直径，C是圆上一点，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（2）解：如图，过点A作AD⊥PC，于点D，
∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC，
∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC，
∴AD即为点A到平面PBC的距离，
依题意知∠PBA是PB与平面ABC所成的角，∴∠PBA=45°，
∴PA=AB=2，AC=1，解得PC=

5

，
∵AD?PC=PA?AC，
∴AD=

2×1

5

＝

2 5

5

，
∴点A到平面PBC的距离为

2 5

5

．