Question

设函数f（x）=x+1x（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的图象为c1，c1关于点A（2，1）的对称图象为c2，c2对应

设函数f（x）=x+1x（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的图象为c1，c1关于点A（2，1）的对称图象为c2，c2对应的函数为g（x）．（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；（2）若直线y=b与c2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．

Answer 1

（1）设函数g（x）的图象上任一点P（x，y），且P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'）；
则

x+x′ 2 ＝2 y+y′ 2 ＝1

，解得

x′＝4?x y′＝2?y

，
∵点P'在函数f（x）=x+

1

x

的图象上，∴2-y=（4-x）+

1

4?x

，
即g（x）=（x-4）+

1

x?4

+2；
（2）当x-4＞0时，即x＞4，（x+4）+

1

x?4

≥2，当且仅当x=5时取“=”；
此时g（x）取到最小值4，
∵直线y=b与C₂只有一个公共点，∴b=4，且交点坐标是（5，4）；
当x-4＜0时，即x＜4，-[（x-4）+

1

x?4

]≥2，即（x-4）+

1

x?4

≤-2，
此时g（x）取到最大值0，当且仅当x=3时取“=”；
∵直线y=b与C₂只有一个公共点，∴b=0，且交点坐标是（3，0）；
综上，b的值及交点坐标分别为4，（5，4）或0，（3，0）．