Question

求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)(详解）

基本不等式

Answer 1

首先证√(a^2+b^2)>=(a+b)*（√2/2）
平方即证a^2+b^2>=(1/2)*(a+b)^2
整理得a^2+b^2>=2ab由基本不等式得显然成立
同理√(b^2+c^2)>=(b+c)*（√2/2）
√(c^2+a^2)>=(c+a)*（√2/2）
三式相加得根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)

Answer 2

由常用不等式：（a的平方+b的平方）/2 >=[(a+b)/2]的平方
得 根号a2+b2 >= (a+b)/根号2
其他两个式子同理可得
再三个式子相加，即有
根号a2+b2 + 根号b2+c2 + 根号c2+a2 >= (a+b)/根号2 + (a+b)/根号2 + (a+b)/根号2
整理即可得 根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2>=根号2(a+b+c)，当且仅当a=b=c时等号成立。

补充：第一个常用不等式要证的话用分析法，要证。。。只需证。。。最后是a2+b2>=2ab，显然成立