Question

已知函数f（x）的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（X1

已知函数f（x）的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（X1xX2）＝f（x1）＋f（x2），当x＞1时，f（x）＞0，且f（2）＝1。（1）求证：f（x）是偶函数。

Answer 1

证明：（1）由： f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
可知：f(x)=f(1*x)=f(x)+f(1)
所以：f(1)=0
又 f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)+f(-1)
所以： f(-1)=0
f(x)=f[(-x)*(-1)]=f(-x)+f(-1)=f(-x)
所以：　f(x)是偶函数
（2） 设定义域（0，正无穷）内的任意x1,x2 x1>x2
　设　x1=kx2 （k>1）
可得：f(x1)=f(kx2)=f(k)+f(x2)
已知　当x>1时，f(x)>0，
所以　　f(k)>0
所以　f(k)+f(x2)>f(x2)
即　　f(x1)>f(x2)
所以f(x)在（0,＋无穷）上是增函数