Question

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),

且当x大于1时 f(x)大于0，f(2）=1， (1)求证f(x)是偶函数；（2）f（x）在（0，正无穷）上是增函数；（3）接不等式f(2x-1)小于2

Answer 1

1. f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
f(x)=f(1*x)=f(x)+f(1) ∴f(1)=0
f(1)=f[(-1)(-x)]=f(-1)+f(-1) ∴f(-1)=0
f(x)=f[(-x)*(-1)]=f(-x)+f(-1)=f(-x)
∴f(x)是偶函数
2. 设定义域（0，正无穷）内的任意x1,x2 x1>x2
可设x1=kx2 显然k>1
于是f(x1)=f(kx2)=f(k)+f(x2)
已知当x大于1时 f(x)大于0，所以f(k)>0
所以f(k)+f(x2)>f(x2)
即f(x1)>f(x2)
故f（x）在（0，正无穷）上是增函数
3. ∵f(2)=1
∴f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
由不等式f(2x-1)小于2
知f(2x-1)<f(4)
根据增函数原理2x-1<4
解得x<5/2
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
f(2x)=f(x)+f(2),
f(-2x)=f(-x)+f(2)
f(2x)-f(-2x)=f(x)-f(-x)
f(2x)+f(-X)=f(x)+f(-2x)
这不就是偶函数了嘛

Answer 3

（1）...f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0,f(x)=f(-x)+f(-1)=f（-x），故是偶函数。
（2）...令x1>x2>0,那么f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)+f(x2)+f(-1)=f(x1)+f(x2)>0,所以f（x）在（0，正无穷）上是增函数。
（3）..f（4）=f（2）+f（2）=2，.由图像，当2x-1>0时，即x>1/2，有2x-1<4,解得1/2<x<5/2；当2x-1<0时，即x<1/2，有2x-1>--4，解得-3/2<x<1/2，求并集可得最终解。
很费神，望采纳。