Question

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)=f(x1)+f（x2）

且当x>1时，f(x)>0,求证f(x）是偶函数（2）f(x)在（0,＋无穷）上是增函数

Answer 1

（1）证明：已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)=f(x1)+f（x2），
f（-x)=f(-1)+f(x),f(x)=f（-1）+f(-x) 两式相减，f(-x)-f(x)=f(x)-f(-x)
f(-x)=f(x)
f(x）是偶函数
(2）
f(x)=f(1)+f(x）
f(1)=0,
且当x>1时，f(x)>0

f(x)在（0,＋无穷）上是增函数

Answer 2

1.f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
x1=-1，x2=0代入，得到f(-1)=0
x1=-1，x2=x2代入，得到f(-x2)=f(x2)+0 得证

2.
设0＜x1＜x2
f(x1)-f(x2)
=f(x1)-f(x1×x2/x1)
=f(x1)-[f(x1)+f(x2/x1)]=-f(x2/x1)
因为0＜x1＜x2，所以x2/x1＞1，∴f(x2/x1)＞0
∴f(x1)-f(x2)＜0
所以f(x)在（0，+∞）单调递增