Question

如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形， M、N分别是CE、CF的中点. 小题1:求证：△DM

如图，D是△ABC中AB边的中点，△BCE和△ACF都是等边三角形， M、N分别是CE、CF的中点. 小题1:求证：△DMN是等边三角形；小题2:连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P. 求证：DP＝DQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.

Answer 1

小题1:取AC的中点G，连接NG、DG. ∴DG＝ BC，DG∥BC；△NGC是等边三角形.   ∴NG = NC，DG =" CM." ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3. ∴△NGD≌△NCM . ∴ND =" NM" ，∠GND =∠CNM.  ∴∠DNM ="∠GNC" = 60º. ∴△DMN是等边三角形.  小题1:连接QN、PM. ∴QN = CE=" PM." Rt△CPE中，PM =EM，∴∠4=" ∠5." ∵MN∥EF，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ∥CE，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8. ∴∠QND=" ∠PMD." ∴△QND≌△PMD. ∴DQ= DP.

小题1:先证出NG = NC，DG = CM，再证出△NGD≌△NCM，得出△DMN是等边三角形； 小题1:根据题意得出QN = CE= PM，然后证明△QND≌△PMD，从而得出DQ= DP.